Ud sanatçısı Özcan Sevinç’in oğlu olan Burak Sevinç, 27 Ekim 1985’te Zonguldak’ta doğdu. İlk, orta ve lise öğrenimini Zonguldak’ta tamamlayan Sevinç, henüz ilkokul sıralarındayken babasının yönlendirmesiyle Türk Sanat Müziği Derneği’nde kanun eğitimi almaya başladı. Kısa bir eğitim döneminden sonra keman, ud, kanun ve gitar gibi çalgıları çalmayı öğrendi. Sevinç, 1997’den itibaren Zonguldak Sanat Müziği Derneği’nde sahne aldı. Ayrıca bir süre Behzat Gerçeker’in Enbe Orkestrası’nda profesyonel müzisyen olarak çalıştı. Üniversite eğitimi için Yıldız Teknik Üniversitesi Tasarım Fakültesi Müzik ve Sahne Sanatları Bölümü’ne kayıt oldu ancak ikinci sınıfta okulu bırakarak müzisyenliğe yoğunlaştı.

Oyunculuk ve müzisyenlik dışında hobi olarak marangozluğu da seven Sevinç, ilk oyunculuk deneyimini ise 2011 yılında Babam İçin adlı dizide Alpay karakteriyle yaşadı. 2012 yılında Yol Ayrımı adlı dizide Yusuf karakterini oynadı. Sonra Merhaba Hayat (2013) ve Yalan Dünya (2013) gibi dizilerde küçük roller üstlendi. Aynı yıl Pana Film’in yapımını üstlendiği Ben Onu Çok Sevdim (2013) adlı dizide Mehmet Aslantuğ, İdil Fırat ve Birce Akalay’la birlikte yer aldı ve şoför Hasan Bey karakterini canlandırdı. Daha sonra Evli ve Öfkeli (2015) dizisinde, Altınsoylar (2016) dizisinde ve Dönerse Senindir (2016) adlı filmde rol aldı.

2017-2019 yılları arasında Söz dizisinde Fethi Kulaksız karakteriyle oynayarak esas çıkışını yakaladı. 2020 yılının başında Gökçe Bahadır’la birlikte İzmir’in Kızları adlı müzikalde rol aldı. Bu müzikal, Sevinç’in ilk tiyatro deneyimi oldu. 14 Şubat 2020’de vizyona giren Nasipse Olur adlı romantik komedi filminde Algı Eke ve Nur Sürer’le birlikte başrol oynadı. Aynı yıl TV8’de yayınlanan ve psikiyatrist Gülseren Budayıcıoğlu’nun Madalyonun İçi adlı romanından uyarlanan Kırmızı Oda adlı dizide Binnur Kaya, Tülin Özen ve Meriç Aral’la birlikte başrolü paylaştı. Dizide Doktor Deniz Saner karakterini oynayan Sevinç, mutasavvıf ve şair Hacı Bayram Veli’nin hayatını anlatan Aşkın Yolculuğu: Hacı Bayram Veli adlı dizide de Hacı Bayram Veli karakterini canlandırdı.